Question

已知△ABC的兩邊長a=3，c=5，且第三邊長b為關于x的一元二次方程x²-4x+m=0的兩個正整數根之一，求sinA的值．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系，兩根之和等于4，由兩個根是正整數，分情況討論，再由三角形的三邊關系定理，確定b的值，從而求sinA的值．

解答：解：設x_l，x₂是關于x的方程x²-4x+m=0的兩個正整數根，∴x₁+x₂=4．
∴x₁=1，x₂=3或x₁=x₂=2或x₁=3，x₂=1．（2分）
∴b只能取l、2、3．（2分）
由三角形三邊關系定理，得
2＜b＜8，
∴b=3．（1分）
過C作CD⊥AB，垂足為D
∵AC=BC=3，
∴AD=

1

2

AB=

5

2

，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

11

2

（1分）
∴sinA=

CD

AC

=

11 2

3

=

11

6

（1分）

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，三角形的三邊關系定理和三角函數，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．