Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為(1，0)，點B在拋物線y=ax2+ax2上．

（1）點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；拋物線的解析式為 ；

（2）設拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；

（3）在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2）；B（，1）； （2） （3）P（，）或（2，1）

【解析】

（1）過點B作BF⊥x軸于F，先根據勾股定理求出OA的長，即可得出點A的坐標，再求出OF、BF的長即可求出B的坐標；再把點B的坐標代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出點D的坐標，再用待定系數法求出直線BD的解析式，設直線BD與x軸交點為E，求出CE的長，再根據S△DBC=S△CEB+S△CED進行計算即可；

（3）假設存在點P，①若以點C為直角頂點；則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對應邊相等可得出點P1點的坐標；

②若以點A為直角頂點；則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質可得出點P2的坐標；點P1、P2的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可．

（1）∵C（-1，0），AC=，

∴OA==2，

∴A（0，2）；

過點B作BF⊥x軸于F，垂足為F，

∵∠ACO+∠CAO=90，∠ACO+∠BCF=90，

∴∠CAO=∠BCF，

在ΔAOC和ΔCFB中，

，

∴ΔAOC≌ΔCFB，

∴CF=AO=2，BF=CO=1，

∴OF=3，

∴B(-3，1)；

把B(-3，1)代入y=ax2+ax2中，得：1=9a-3a-2，

解得：a=，

∴拋物線的解析式為y=x2+x2，

故答案為：A（0，2）；B（，1）；；

（2）由知，拋物線的頂點坐標D(，)，
設直線BD的關系式為y=kx+b，將點B、D的坐標代入得：

，

解得：，

∴直線BD的解析式為，設直線BD與x軸交于點E，

則點E（，0），CE=，

∴S△DBC=S△CEB+S△CED==；

（3）假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：
①若以點C為直角頂點；
則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
過點P1作P1M⊥x軸，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90 °，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1(1，-1)；
②若以點A為直角頂點；
則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2(2，1)，
經檢驗，點P1(1，-1)與點P2(2，1)都在拋物線上．

綜上所述，滿足條件的P坐標為（，）或（2，1）.