Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點D．

（1）如圖1，點E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求證：BE=AF；

（2）點M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN=90°．如圖2，當點M在AD的延長線上時，求證：AB+AN=AM；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先證∠BDE=∠ADF，再證△BDE≌△ADF，即可證明BE=AF；

（2）過點M作MP⊥AM，交AB的延長線于點P，先證△AMN≌△PMB，在Rt△AMP中，即可證明AB+AN=AM.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）如圖，過點M作MP⊥AM，交AB的延長線于點P，

∴∠AMP=90°．

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM．

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，

在△AMN和△PMB

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM.