Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+(4a﹣1)x﹣4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且OC=2OB，點D為線段OB上一動點(不與點B重合)，過點D作矩形DEFH，點H、F在拋物線上，點E在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當矩形DEFH的周長最大時，求矩形DEFH的面積；

（3）在（2）的條件下，矩形DEFH不動，將拋物線沿著x軸向左平移m個單位，拋物線與矩形DEFH的邊交于點M、N，連接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面積，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）10；（3）m的值為．

【解析】

（1）先求出點C的坐標，由OC＝2OB，可推出點B坐標，將點B坐標代入y＝ax2＋（4a﹣1）x﹣4可求出a的值，即可寫出拋物線的解析式；

（2）設點D坐標為（x，0），用含x的代數式表示出矩形DEFH的周長，用函數的思想求出取其最大值時x的值，即求出點D的坐標，進一步可求出矩形DEFH的面積；

（3）如圖，連接BH，EH，DF，設EH與DF交于點G，過點G作BH的平行線，交ED于M，交HF于點N，則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半，依次求出直線BH，MN的解析式，再求出點M的坐標，即可得出m的值．

解：（1）在拋物線y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4中，

當x＝0時，y＝﹣4，

∴C(0，﹣4)，

∴OC＝4．

∵OC＝2OB，

∴OB＝2，

∴B(2，0)，

將B(2，0)代入y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4，得：a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2＋x﹣4；

（2）設點D坐標為(x，0)．

∵四邊形DEFH為矩形，

∴H(x， x2＋x﹣4)．

∵y＝x2＋x﹣4＝(x＋1)2﹣，

∴拋物線對稱軸為x＝﹣1，

∴點H到對稱軸的距離為x＋1，

由對稱性可知DE＝FH＝2x＋2，

∴矩形DEFH的周長C＝2(2x＋2)＋2(﹣x2﹣x＋4)＝﹣x2＋2x＋12＝﹣(x﹣1)2＋13，

∴當x＝1時，矩形DEFH周長取最大值13，

∴此時H(1，﹣)，

∴HF＝2x＋2＝4，DH＝，

∴S矩形DEFH＝HFDH＝4×＝10；

（3）如圖，

連接BH，EH，DF，設EH與DF交于點G，

過點G作BH的平行線，交ED于M，交HF于點N，則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半，

由（2）知，拋物線對稱軸為x＝﹣1，H(1，﹣)，

∴G(﹣1，﹣)，

設直線BH的解析式為y＝kx＋b，

將點B(2，0)，H(1，﹣)代入，

得：，解得：，

∴直線BH的解析式為y＝x﹣5，

∴可設直線MN的解析式為y＝x＋n，

將點(﹣1，﹣)代入，得n＝，

∴直線MN的解析式為y＝x＋，

當y＝0時，x＝﹣，

∴M(﹣，0)．

∵B(2，0)，

∴將拋物線沿著x軸向左平移個單位，拋物線與矩形DEFH的邊交于點M、N，

連接M、N，則MN恰好平分矩形DEFH的面積，

∴m的值為．