Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D是BC上一定點．動點P從C出發，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運動，動點Q從D出發，以1cm/s的速度沿D→B方向運動．點P出發5 s后，點Q才開始出發，且當一個點達到B時，另一個點隨之停止．圖2是當時△BPQ的面積S（cm2）與點P的運動時間t（s）的函數圖象．

（1）CD = ， ；

（2）當點P在邊AB上時，為何值時，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運動過程中，求出當△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時的值．

Answer 1

【答案】（1）2，10.8；（2）或6；（3）5或．

【解析】

試題（1）根據函數圖象得到當點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計算出BD=6，則CD=2，當t=5s時，AP=4，點Q在D點，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據勾股定理計算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計算出PH，然后根據三角形面積公式得到S△PBQ，即a=S△PBQ；

（2）分類討論：當3＜t≤5，點Q在D點，BP=16﹣2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當5＜t≤8，DQ=t﹣5，BQ=11﹣t，BP=16﹣2t，當∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，分類討論：當BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解方程得t=5；當PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據等腰三角形的性質得則BM=BQ=，再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

試題解析：（1）當點P運動到點A時，△BPQ的面積為18，∴6BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC﹣BD=2，

當t=5s時，AP=2×5﹣6=4，點Q在D點，點P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，

∵PH∥AC，∴△BPH∽△BAC，∴PH：AC=BP：BA，即PH：6=(10－4)：10，解得PH=，

∴S△PBQ=，即；故答案為：2，；

（2）點P在邊AB上，

當3＜t≤5，點Q在D點，BP=16﹣2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BD：BC，即，解得；

當5＜t≤8，DQ=t﹣5，則BQ=8﹣2﹣（t﹣5）=11﹣t，BP=16﹣2t，

當∠PQB=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，∴BP：BA=BQ：BC，即，解得，不合題意舍去；

當∠BPQ=90°時，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，∴BP：BC=BQ：BA，即，解得，

綜上所述，當或時，△BPQ與△ABC為相似；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，

當BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解得t=5；

當PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，則BM=BQ=，

∵PM∥AC，∴△BPM∽△BAC，∴BP：BA=BM：BC，即，解得，

綜上所述，當△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時t的值為5或．