Question

【題目】綜合與實踐探究幾何元素之間的關系

問題情境：四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是直線AC上的一個動點（點E與點C，O，A都不重合），過點A，C分別作直線BE的垂線，垂足分別為F，G，連接OF，OG.

（1）初步探究：

如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，且點E在線段OC上，求證；

（2）深入思考：請從下面A，B兩題中任選一題作答，我選擇_______題.

A.探究圖1中OF與OG的數量關系并說明理由；

B.如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，且點E在AC的延長線上，其余條件不變，探究OF與OG的數量關系并說明理由；

（3）拓展延伸：請從下面AB兩題中任選一題作答，我選擇_______題.

如圖3，已知四邊形ABCD為矩形，且，.

A.點E在直線AC上運動的過程中，若，則FG的長為________.

B.點E在直線AC上運動的過程中，若，則FG的長為________.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）A. ，理由見解析；B. . 理由見解析；（3）A. B.或

【解析】

（1）根據題意，AF⊥BE，CG⊥BE，，，則，利用AAS證明，即可得到答案；

（2）A．由（1）知，，然后得到OB=OA，由，得到，即可得到OF=OG；

B．延長GO交FA的延長線于點H，找到條件，證明，然后得到OH=OG=OF；

（3）A．根據矩形的性質，得到△ABO是等邊三角形，然后得到∠ABF=30°，則，由勾股定理，求出BF和BG的長度，即可得到FG.

B．根據題意，由，由兩種情況，要進行分類討論；結合矩形的性質，得到△AFB和△BCG是等腰直角三角形，利用三角函數值，求出BF和BG的長度，然后求出FG的長度即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）A.解： ；

理由如下：如圖1，連接OB，

由（1）知，，，

∵點O是AC的中點，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

B.解：.

理由如下：延長GO交FA的延長線于點H，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∵點O是AC的中點，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴ ；

（3）A、解：如圖：連接OB，

在直角三角形ABC中，OA=OB=OC，

∵∠BAC=60°，

∴△ABO是等邊三角形，

∴∠ABO=60°，

∵BF=BG，

∴點B是FG的中點，

∴OB∥AF，

∴∠BAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴∠ABF=30°，

∴，

∴，

∴BG=，

∴FG=；

故答案為：.

B．解：①如圖，OF∥BC，則OF⊥AB，

∵點O為AC中點，

∴點H為AB的中點，即AH=BH，

∴△ABF是等腰三角形，則AF=BF，

∵∠AFB=90°，

∴∠BAF=∠ABF=45°，

∴，

同理：△BCG是等腰直角三角形，，

∴，

∴；

②如圖，OF∥BC，延長OF交AB于點I，

由①可知，△ABF是等腰直角三角形，，

△BCG是等腰直角三角形，，

∴；

綜合上述，FG的長度為：或.

故答案為：或.