Question

【題目】如圖，一次函數y＝﹣x+5的圖象與坐標軸交于A，B兩點，與反比例函數y＝的圖象交于M，N兩點，過點M作MC⊥y軸于點C，且CM＝1，過點N作ND⊥x軸于點D，且DN＝1．已知點P是x軸（除原點O外）上一點．

（1）直接寫出M、N的坐標及k的值；

（2）將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉90°得到線段PQ，當點P滑動時，點Q能否在反比例函數的圖象上？如果能，求出所有的點Q的坐標；如果不能，請說明理由；

（3）當點P滑動時，是否存在反比例函數圖象（第一象限的一支）上的點S，使得以P、S、M、N四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）M（1，4），N（4，1），k＝4；（2）（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）；（3）（，5）或（，3）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）分三種情形求解：①如圖2，點P在x軸的正半軸上時，繞P順時針旋轉到點Q，根據△COP≌△PHQ，得CO＝PH，OP＝QH，設P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數的關系式中可得Q的兩個坐標；②如圖3，點P在x軸的負半軸上時；③如圖4，點P在x軸的正半軸上時，繞P逆時針旋轉到點Q，同理可得結論．

（3）分兩種情形分別求解即可；

解：（1）由題意M（1，4），n（4，1），

∵點M在y＝上，

∴k＝4；

（2）當點P滑動時，點Q能在反比例函數的圖象上；

如圖1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，

過Q作QH⊥x軸于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO＝PH，OP＝QH，

由（2）知：反比例函數的解析式：y＝；

當x＝1時，y＝4，

∴M（1，4），

∴OC＝PH＝4

設P（x，0），

∴Q（x+4，x），

當點Q落在反比例函數的圖象上時，

x（x+4）＝4，

x2+4x+4＝8，

x＝﹣2±，

當x＝﹣2±時，x+4＝2+，如圖1，Q（2+2，2+2）；

當x＝﹣2﹣2時，x+4＝2﹣2，如圖2，Q（2﹣2，2﹣2）；

如圖3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，設P（x，0）

過P作GH∥y軸，過C作CG⊥GH，過Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，

∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）＝4，

解得：x1＝x2＝2，

∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點Q的坐標為（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．

（3）當MN為平行四邊形的對角線時，根據MN的中點的縱坐標為，可得點S的縱坐標為5，即S（，5）；

當MN為平行四邊形的邊時，易知點S的縱坐標為3，即S（，3）；

綜上所述，滿足條件的點S的坐標為（，5）或（，3）．