Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2，D是BC邊上的動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接EC．

（1）如圖a，求證：CE⊥BC；

（2）連接ED，M為AC的中點，N為ED的中點，連接MN，如圖b．

①寫出DE、AC，MN三條線段的數量關系，并說明理由；

②在點D運動的過程中，當BD的長為何值時，M，E兩點之間的距離最小？最小值是　 　，請直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①MN2+AC2＝DE2，見解析；②當BD＝2時，EM的值最小，1.

【解析】

（1）過點A作AH⊥AC交BC于H，如圖1，易證△AHC是等腰直角三角形，由SAS可證△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，即可證得結論；

（2）①連接AN，CN，由直角三角形的性質可得AN＝CN＝DE，由等腰三角形的性質可得MN⊥AC，CM＝AC，然后由勾股定理可得結論；

②由（1）知∠ECB＝90°，根據垂線段最短可知：當ME⊥EC時，ME的值最小，然后根據等腰直角三角形的判定和性質即可求出ME的長，再結合已知和（1）的結論依次求出HC、HD、CD的長，即可求得BD的長．

解：（1）證明：過點A作AH⊥AC交BC于H，如圖1，

∵∠ACB＝45°，AH⊥AC，

∴∠AHC＝∠ACB＝45°，

∴AH＝AC，

∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，

∴AD＝AE，∠HAC＝∠DAE＝90°，

∴∠HAD＝∠CAE，

∴△HAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AHD＝45°，

∴∠HCE＝90°，

∴CE⊥BC；

（2）①MN2+AC2＝DE2.理由如下：連接AN，CN，如圖2，

∵∠EAD＝∠ECD＝90°，點N是DE中點，

∴AN＝CN＝DE，

∵M為AC的中點，

∴MN⊥AC，AM＝CM＝AC，

∵MN2+CM2＝CN2，

∴MN2+AC2＝DE2；

②如圖3中，由（1）可知∠ECB＝90°，

∴CE⊥BC，

∴當ME⊥EC時，ME的值最小，

在Rt△AHC中，∵AH＝AC＝2，

∴HC＝4，

∵M為AC中點，

∴AM＝MC＝，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，

由（1）可知：△HAD≌△CAE，

∴HD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，

∴當BD＝2時，EM的值最小，最小值為1，

故答案為：1.