Question

【題目】已知：△ABC是⊙O的內接三角形，AB為直徑，AC＝BC，D、E是⊙O上兩點，連接AD、DE、AE．

（1）如圖1，求證：∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如圖2，若DE⊥AB于點H，過點D作DG⊥AC于點G，過點E作EK⊥AD于點K，交AC于點F，求證：AF＝2DG；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF、CD，若∠CDF＝∠GAD，DK＝3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑為

【解析】

（1）連接CO，CE，證∠B＝45°，可依次推出∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，即可寫出結論；

（2）連接CO并延長，交⊙O于點N，連接AN，過點E作EM⊥AC于M，證△ADG≌△EAM，△ADG≌△EFM，即可推出AF＝2DG；

（3）證△FCD∽△DCA，推出△GFD為等腰直角三角形，設GF＝GD＝a，分別用含a的代數式表示DF，AF，FK，在Rt△FKD中，即可求出a的值，再利用△FCD∽△DCA，求出FC的值，即可求得AC的值，進一步求出AB的值，即可求得半徑．

（1）證明：如圖1，連接CO，CE，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∴∠COA＝2∠B＝90°，

∵，

∴∠CAD＝∠CED，

∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°，

即∠AED﹣∠CAD＝45°；

（2）如圖2，連接CO并延長，交⊙O于點N，連接AN，過點E作EM⊥AC于M，

則∠CAN＝90°，

∵AC＝BC，AO＝BO，

∴CN⊥AB，

∴AB垂直平分CN，

∴AN＝AC，

∴∠NAB＝∠CAB，

∵AB垂直平分DE，

∴AD＝AE，

∴∠DAB＝∠EAB，

∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB，

即∠GAD＝∠NAE，

∵∠CAN＝∠CME＝90°，

∴AN∥EB，

∴∠NAE＝∠MEA，

∴∠GAD＝∠MEA，

又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA，

∴△ADG≌△EAM（AAS），

∴AG＝EM，AM＝DG，

又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°，

∴∠MEF＝∠GAD，

又∵∠G＝∠FME＝90°，

∴△ADG≌△EFM（ASA），

∴DG＝MF，

∵DG＝AM，

∴AF＝AM+MF＝2DG；

（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA，

∴△FCD∽△DCA，

∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA，

∵AC＝BC，AB為直徑，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°，

∴△GFD為等腰直角三角形，

設GF＝GD＝a，則FD＝a，AF＝2a，

∴

∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°，

∴△AFK∽△ADG，

∴，

在Rt△AFK中，

設FK＝x，則AK＝3x，

∵FK2+AK2＝AF2，

∴x2+（3x）2＝（2a）2，

解得，x＝a（取正值），

∴FK＝a，

在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，

∴（a）2+32＝（a）2，

解得，a＝（取正值），

∴GF＝GD＝，AF＝，

∵△FCD∽△DCA，

∴

∴CD2＝CAFC，

∵CD2＝CG2+GD2，

∴CG2+GD2＝CAFC，

設FC＝n，

則

解得，n＝，

∴AC＝AF+CF＝

∴AB＝AC＝，

⊙O的半徑為．