Question

【題目】已知在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于G，E為DC延長線上一點

（1）如圖1，BE交⊙O于點F，求證：∠EFC＝∠BFD；

（2）如圖2，當CD也是直徑，EF切⊙O于F，連接DF．若tan∠D＝，求sin∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AD，BD，由圓的性質可得∠CFE＝∠EDB，再證明∠ADB＝∠AGD＝90°，可得∠DAB＝∠GDB，則∠EFC＝∠BFD得證；

（2）證明△CEF∽△FED，可得EF2＝CEDE，設CF＝a，則DF＝3a，由勾股定理可得CD＝，設CE＝x，則EF＝3x，可求出CE＝和EF＝，可用a表示OF的長，則sin∠E的值可求出．

（1）證明：如圖1，連接AD，BD，

∵四邊形CDBF為圓內接四邊形，

∴∠CFE＝∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠ABD＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠AGD＝90°，

∴∠GDB+∠ABD＝90°，

∴∠DAB＝∠GDB，

∴∠DAB＝∠CFE，

∵∠DAB＝∠BFD，

∴∠EFC＝∠BFD；

（2）解：如圖2，連接OF，CF，

∵EF是⊙O的切線，

∴OF⊥EF，

∴∠EFO＝90°，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CFD＝90°，

∴∠EFC＝∠OFD，

∵OF＝OD，

∴∠ODF＝∠OFD，

∴∠ODF＝∠EFC，

∵∠CEF＝∠FED，

∴△CEF∽△FED，

∴，

∴EF2＝CEDE，

∵tan∠D＝＝，

設CF＝a，則DF＝3a，由勾股定理可得CD＝，

設CE＝x，則EF＝3x，

∴，

解得：x＝，

∴，

∴OE＝CE+OC＝，

∴＝＝，

∴sin∠E＝．