Question

【題目】如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若tan∠CED＝，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）OA＝5．

【解析】

（1）連接OC，通過等腰三角形中線的性質得出OC⊥AB，即可證明直線AB是⊙O的切線；

（2）通過證明△BCD∽△BEC，可得，設BD＝x，則BC＝2x，代入BC2＝BDBE中，即可求得BD＝2，根據OA＝OB＝BD+OD即可求出OA的長．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切線．

（2）解∵tan∠CED＝，

∴．

∵ED是直徑，

∴∠ECD＝90°，

∴∠E+∠EDC＝90°．

又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），

∴∠BCD＝∠E．

又∵∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴ ．

設BD＝x，則BC＝2x，

∵△BCD∽△BEC，

∴BC2＝BDBE，

∴（2x）2＝x（x+6）．

∴x1＝0，x2＝2．

∵BD＝x＞0，

∴BD＝2．

∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．