Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線段AB于點(diǎn)E，使PE最大．

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE的最大值．

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①，P② M（，）或（，）

【解析】

（1）先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）①根據(jù)A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式為：y=﹣2x+2，設(shè)P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即求解；

②根據(jù)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2，求出，，AB2故可列出方程求解.

解：（1）∵B（1，0）

∴OB=1，

∵OC=2OB=2，

∴BC=3 ,C（﹣2，0）

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴=2，

∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式為：y=﹣2x+2，

設(shè)P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），

∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+

∴當(dāng)a=時(shí)，PE=,此時(shí)P(,)

②∵M(jìn)在直線PD上，且P(,)，

∴

+

AB2=32+62=45，

∵點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上

此時(shí)∠AMB=90°，

∴AM2+BM2=AB2，

∴++=45

解得： ,

∴M（，）或（，）