Question

【題目】如圖，在中，，是∠BAC的平分線，經過、兩點的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點、.

（1）判斷直線與的位置關系并證明；

（2）若的半徑為2，，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）直線BC與⊙O相切，證明過程見解析;（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據角平分線的定義和等腰三角形的性質得出∠CAD=∠ODA，進而得出，根據平行線的性質即可得出∠ODB=∠C=90°，則可證明直線BC與⊙O相切；

（2）首先根據可得出△BDO∽△BCA，進而有，從而求出BE的長度，然后利用勾股定理即可求出BD的長度．

解：（1）直線BC與⊙O相切，證明如下：

證明：連接OD．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵BC過半徑OD的外端點D，

∴BC與⊙O相切．

（2）由（1）知OD∥AC．

∴△BDO∽△BCA．

∴

∵⊙O的半徑為2，

∴DO=OE=2，AE=4．

∴．

∴BE=2．

∴BO=4，

∴在Rt△BDO中，．