Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（-4，0），B點坐標為（1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負半軸交于點C．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線對應的函數表達式；
（2）設M為（1）中拋物線的頂點，試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論；

（3）在第二象限中是否存在的一點Q，使得以A,O,Q為頂點的三角形與△OBC相似。若存在，請求出所有滿足的Q點坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）連接PC，

∵A（-4，0），B（1，0）

∴AB=5∵P是AB的中點，且是⊙P的圓心

∴PC=PA=2.5 ，OP=4-2.5=1.5 ．

∴OC= PC²−OP²=2

∴C（0，2）．

設經過A、B、C三點的拋物線為y=a（x-1）（x+4），

∴-2=a（0-1）（0+4）

∴a=

∴拋物線為y=（x-1）（x+4）

     （2）直線MC與⊙P相切．

易證CN²+PC²=PN²．

∴∠PCN=90度．

∴MC與⊙P相切．

（3）(-4,2);(-4,8);

;