Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB＝OC＝3，頂點為M．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ＝m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S四邊形ACPQ＝﹣m2+m+；m的取值范圍為1≤m＜3；（3）線段BM上存在點N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形．

【解析】

（1）可根據OB、OC的長得出B、C兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．

（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來求解．先根據拋物線的解析式求出A點的坐標，即可得出三角形AOC直角邊OA的長，據此可根據上面得出的四邊形的面積計算方法求出S與m的函數關系式．

（3）先根據拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線BM的解析式，據此可設出N點的坐標，然后用坐標系中兩點間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長，然后分三種情況進行討論：①CM＝MN；②CM＝CN；③MN＝CN．根據上述三種情況即可得出符合條件的N點的坐標．

（1）∵OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c

∴，

解得

∴二次函數的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）

設直線MB的解析式為y＝kx+n，代入B（3，0），M（1，4）

則有

解得

∴直線MB的解析式為y＝﹣2x+6

∵PQ⊥x軸，OQ＝m，

∴點P的坐標為（m，﹣2m+6）

S四邊形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC＝AOCO+（PQ+CO）OQ（1≤m＜3）

＝×1×3+（﹣2m/span>+6+3）m＝﹣m2+m+；

（3）線段BM上存在點N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形，

∵CM＝，CN＝，MN＝

①當CM＝NC時，，

解得x1＝，x2＝1（舍去）

此時N（，），

②當CM＝MN時，，

解得x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），

此時N（1+，4﹣）

③當CN＝MN時，＝

解得x＝2，此時N（2，2）．