Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．

(1)求證：AD是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結論；

（2）連接BF，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

（1）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF+∠FAC=90°．

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切線；

（2）連接BF．

∵∠FAC=∠AOD，∠ACE=∠ACE，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE．

∵∠CAE=∠CBF，∠AEC=∠BEF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴，∴EF．