Question

【題目】已知：如圖，點是以為直徑的上一點，直線與過點的切線相交于，點是的中點，直線交直線于點.

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）的半徑為6.

【解析】

(1)連接CB、OC,根據切線得∠ABD=90°,根據圓周角定理∠ACB=90°,即∠BCD=90°,則根據直角三角形斜邊上的中線性質得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根據切線的判定定理得CF是O得切線;

(2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根據相似三角形的性質即可得到結論.

（1）證明：連接，，

∵為的切線，是的直徑，

∴，.

∴.

∴.

∵為的中點，

∴.

∴.

又∵

∴.

∴.

∴是的切線.

（2）解：∵，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∴

∴，即的半徑為6.