Question

【題目】附加題：如圖，是斜邊上的高，到點的距離等于的所有點組成的圖形記為，圖形與交于點，連接．

（1）依題意補全圖形，并求證：平分；

（2）如果，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）依據題意畫出圖形，根據∠OAB=90°，OA=OD可得出∠ODA+∠BAD=90°，結合AC⊥OB可得∠BAD=∠CAD，即可證明；

（2）過點C作AD的平行線與BA延長線交于點E，根據題干求出BC，利用勾股定理求出AC和AB，利用平行線的性質結合∠CAD =∠BAD得出AE=AC和，從而確定，利用BC的長可求出BD.

解：（1）由題意可得圖形G是以點O為圓心，以OA為半徑的圓，

∵∠OAB=90°，

∴∠OAD+∠BAD=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA+∠BAD=90°，

∵AC⊥OB，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ODA=90°，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）如圖所示，

過點C作AD的平行線與BA延長線交于點E，

∵AC=6，tanB=，

∴，

∴BC=8，

∴AB=，

∵CE∥AD，

∴∠CAD=∠ACE，∠BAD=∠E，

∵∠CAD =∠BAD，

∴∠ACE =∠E，

∴AE=AC，

∵CE∥AD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵CB=8，

∴CD=3,

∴BD=5.