Question

【題目】（知識背景）我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據《周髀算經》記載，公元前1000多年就發現了“勾三股四弦五”的結論．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的3個正整數，稱為勾股數．

（應用舉例）

觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；

可以發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，

當勾為3時，股，弦；

當勾為5時，股，弦；

當勾為7時，股，弦．

請仿照上面三組樣例，用發現的規律填空：

（1）如果勾用，且為奇數）表示時，請用含有的式子表示股和弦，則股　　，弦　　．

（問題解決）

（2）古希臘的哲學家柏拉圖也提出了構造勾股數組的公式．具體表述如下：如果，，為大于1的整數），則、、為勾股數．請你證明柏拉圖公式的正確性；

（3）畢達哥拉斯在他找到的勾股數的表達式中發現弦與股的差為1，若用為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數，請你找出另外兩個數的表達式分別是多少．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）；．

【解析】

（1）如果勾用，且為奇數）表示時，則股，弦；

（2）根據勾股數的定義直接進行解答即可得出答案；

（3）根據弦與股的差為1和勾股數的定義即可得出答案．

解：（1）如果勾用，且為奇數）表示時，則股，弦；

故答案為：，；

（2），，表示大于1的整數）

，

、、為勾股數；

（3）弦與股的差為1，為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數，

另外兩個數的表達式分別是；．