Question

【題目】如圖，△ABC內接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點P，OF∥BC交AC于AC點E，交PC于點F，連接AF．

（1）判斷AF與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為4，AF=3，求AC的長．

Answer 1

【答案】解：（1）AF與圓O的相切。理由為：

如圖，連接OC，

∵PC為圓O切線，∴CP⊥OC。

∴∠OCP=90°。

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。

∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，

∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。

∴AF為圓O的切線，即AF與⊙O的位置關系是相切。

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。

∵OA=OC，∴E為AC中點，即AE=CE=AC，OE⊥AC。

∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根據勾股定理得：OF=5。

∵S△AOF=OAAF=OFAE，∴AE=。

∴AC=2AE=。

【解析】

試題（1）連接OC，先證出∠3=∠2，由SAS證明△OAF≌△OCF，得對應角相等∠OAF=∠OCF，再根據切線的性質得出∠OCF=90°，證出∠OAF=90°，即可得出結論；

（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面積求出AE，根據垂徑定理得出AC=2AE．

試題解析：（1）連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙O直徑，

∴∠BCA=90°，

∵OF∥BC，

∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，

∴OF⊥AC，

∵OC=OA，

∴∠B=∠1，

∴∠3=∠2，

在△OAF和△OCF中，

，

∴△OAF≌△OCF（SAS），

∴∠OAF=∠OCF，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCF=90°，

∴∠OAF=90°，

∴FA⊥OA，

∴AF是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為4，AF=3，∠OAF=90°，

∴OF==5

∵FA⊥OA，OF⊥AC，

∴AC=2AE，△OAF的面積=AFOA=OFAE，

∴3×4=5×AE，

解得：AE=，

∴AC=2AE=．