Question

（2013•武漢模擬）已知點O為正方形ABCD的中心，M為射線OD上一動點（M與點O，D不重合），以線段AM為一邊作正方形AMEF，連接FD．
（1）當點M在線段OD上時（如圖1），線段BM與DF有怎樣的數量及位置關系？請判斷并直接寫出結果；
（2）當點M在線段OD的延長線上時（如圖2），（1）中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可；
（2）根據正方形性質求出AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，推出∠FAD=∠MAB，證△FAD≌△MAB，推出BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，求出∠ADB=45°即可．

解答：解：（1）BM=DF，BM⊥DF
理由是：∵四邊形ABCD、AMEF是正方形，
∴AF=AM，AD=AB，∠FAM=∠DAB=90°，
∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中

AF=AM ∠FAD=∠MAB AD=AB

，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠FDA=∠ABD=45°，
∵∠ADB=45°，
∴∠FDB=45°+45°=90°，
∴BM⊥DF，
即BM=DF，BM⊥DF．

（2）解：成立，
理由是：∵四邊形ABCD和AMEF均為正方形，
∴AB=AD，AM=AF，∠BAD=∠MAF=90°，
∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM，
即∠FAD=∠MAB，
∵在△FAD和△MAB中

AF=AM ∠FAD=∠MAB AD=AB

，
∴△FAD≌△MAB，
∴BM=DF，∠ABM=∠ADF，
由正方形ABCD知，∠ABM=∠ADB=45°，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°，
即BM⊥DF，
∴（1）中的結論仍成立．

點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出△FAD≌△MAB，本題具有一定的代表性，主要培養學生運用性質進行推理的能力和猜想能力．