Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，連接BD，AD=6cm，BD=8cm，∠DBC=90°，現(xiàn)將△AEF沿BD的方向勻速平移，速度為2cm/s，同時(shí)，點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC的方向勻速移動(dòng)，速度為2cm/s．當(dāng)△AEF停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G也停止運(yùn)動(dòng)，連接AD，AG，EG，過點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，如圖2所示，設(shè)△AEF的移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求EH的長度；
（2）若EG⊥AG，求證：EG2=AEHG；
（3）設(shè)△AGD的面積為y（cm2），當(dāng)t為何值時(shí)，y可取得最大值，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，又∠DBC=90°，
∴∠ADB=90°，又AD=6cm，BD=8cm，
由勾股定理得，AB==10cm，
當(dāng)t=1時(shí)，EB=2cm，
則DE=8﹣2=6cm，
∵EH⊥CD，∠DBC=90°，
∴△DEH∽△DCB，
∴=，即=，
解得，EH=3.6cm；
（2）∵∠CDB=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴∠AEG=∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，
∴△AGE∽△EHG，
∴=，
∴EG2=AEHG；
（3）由（1）得，△DEH∽△DCB，
∴=，即=，
解得，EH=，
∴y=×DG×EH==﹣t2+t=﹣（t﹣2）2+，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y的最大值為．
【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求出AB的長，證明△DEH∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；
（2）證明△AGE∽△EHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到= ， 整理即可；
（3）根據(jù)△DEH∽△DCB，求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．