Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣ ， 0），點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（﹣），求△ABN的面積s與t的函數解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0時，△OPN∽△COB，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可得：，
解得：．
∴拋物線的函數關系式為y=﹣x2+x+1；
（2）當﹣＜t＜2時，yN＞0，
∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1，
∴S=ABPN
=×（2+）×（﹣t2+t+1）
=（﹣t2+t+1）
=﹣t2+t+；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴=，
∴=，
∴PN=2PO．
當0＜t＜2時，PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1，PO=|t|=t，
∴﹣t2+t+1=2t，
整理得：3t2﹣t﹣2=0，
解得：t3=﹣，t4=1．
∵﹣＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．
故點N的坐標為（1，2）．
【解析】（1）可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，然后只需運用待定系數法就可解決問題；
（2）當﹣＜t＜2時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數關系式；
（3）根據相似三角形的性質可得PN=2PO．由于PO=|t|，根據0＜t＜2，由PN=2PO得到關于t的方程，解這個方程，就可解決問題．