Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的定點P和圖形F，給出如下定義：若在圖形F上存在一點N，使得點Q，點P關于直線ON對稱，則稱點Q是點P關于圖形F的定向對稱點．

（1）如圖，，，，

①點P關于點B的定向對稱點的坐標是 ；

②在點，，中，______是點P關于線段AB的定向對稱點．

（2）直線分別與x軸，y軸交于點G，H，⊙M是以點為圓心，為半徑的圓．

①當時，若⊙M上存在點K，使得它關于線段GH的定向對稱點在線段GH上，求的取值范圍；

②對于，當時，若線段GH上存在點J，使得它關于⊙M的定向對稱點在⊙M上，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②點C，D；（2）① 或；②．

【解析】

（1）①求出點P關于直線OB的對稱點G即可．

②求出OP，OC，OD，OE的長即可判斷．

（2）①求出兩種特殊位置b的值即可．如圖2中，作⊙M關于y軸的對稱圖形⊙M′，當直線GH與⊙M′在第一象限相切時，設切點為P，連接PM′．如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當直線GH與⊙O在第四象限點相切于點P時，連接OP，分別求出OH的值即可解決問題．

②如圖4中，設⊙M交x軸于K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．求出兩種特殊位置b的值即可判斷．

解：（1）①如圖1中，

∵P（0，2），B（1，1），

∴點P關于OB的對稱點G（2，0），

故答案為：（2，0）．

②∵點C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1），

∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝，

∴OP＝OD＝OC，

∴點C，D是點P關于線段AB的定向對稱點．

故答案為：點C，D．

（2）①如圖2中，作⊙M關于y軸的對稱圖形⊙M′，當直線GH與⊙M′在第一象限相切時，設切點為P，連接PM′，

當b＞0時，

由題意得：tan∠HGO＝，

∴∠PGM＝30°，

∵PM′＝1，∠MPG＝90°，

∴MG＝2MP＝2，

∴OG＝GM+OM＝4，

∴OH＝OGtan30°＝，

當直線經過（-1，0）時， .

∴

若b＜0時，

當當直線經過（1，0）時， .

如圖3中，以O為圓心，3為半徑作⊙O，當直線GH與O在第四象限點相切于點P時，連接OP，

同法可得OH＝2，∴

觀察圖象可知滿足條件的b的值：﹣2≤b≤．

綜上所述，b的取值范圍是 或.

②如圖4中，設⊙M交x軸于K，T，則K（﹣1，0），T（5，0）．

以O為圓心，5為半徑作⊙O，當直線GH與⊙O在第二象限相切于點J時，

可得OH＝，

此時直線GH的解析式為y＝x+，

當直線GH經過點K（﹣1，0）時，0＝﹣+b，

可得b＝，

此時直線GH的解析式為y＝x+，

觀察圖象可知滿足條件的b的值為：≤b≤．