Question

【題目】已知點是線段上與點不重合的一點，且繞點逆時針旋轉角得到繞點順時針旋轉角得到，連接

（1）如圖1，當時，求的度數；

（2）如圖2，當點在的延長線上時，求證： ；

（3）如圖3，過的中點作，過的中點作， 與交于點，連接，若，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）利用旋轉的性質以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，進而得出答案；
（2）根據題意得出△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，進而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；

（3）首先連結QB，作，利用HL得出，利用角度的計算得出，利用勾股定理求得PQ的長，再證明，求得PM的長，再利用勾股定理求出即可．

（1）解：由旋轉的性質得：AP=AP1，BP=BP2．
∵α=90°，
∴△PAP1和△PBP2均為等腰直角三角形，
∴∠APP1=∠BPP2=45°，
∴∠P1PP2=180°-∠APP1-∠BPP2=90°；

（2）證明：由旋轉的性質可知△PAP1和△PBP2均為頂角為α的等腰三角形，

∴∠APP1=∠BPP2=90°，

∴∠P1PP2=180°-（∠APP1+∠BPP2）=180°-2(90°)=，

在△P2P1P和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，
又∵∠PP2P1=∠AP2P，
∴△P2P1P∽△P2PA，

∴，

∴；

（3）證明：如圖，連接QB，并過A作，垂足為M，

則，，

∵1，2分別為PB，P2B的中垂線，，

∴QP=QB，PE=BE=BF=，

又∵BQ=BQ，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

在中，，

且AP=6，QE=1，

∴，，

∴中，．