Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，且E為AD的中點，FC＝3DF，連接EF并延長交BC的延長線于點G．

（1）求證：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的邊長為8，求△BEG的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）80．

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．

（2）證明△BAE∽△GEB，利用＝，求出EG即可解決問題．

（1）證明：設正方形的邊長為4a．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠D＝90°，

∵AE＝ED＝2a，DF＝a，CF＝3a，

∴＝2，＝2，

∴＝，

∴△ABE∽△DEF．

（2）解：∵△ABE∽△DEF，

∴∠AEB＝∠EFD，

∵∠EFD+∠DEF＝90°，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠BEF＝90°，

∵AB＝8，AE＝4，∠A＝90°，

∴BE＝＝＝4，

∵AE∥∥BG，

∴∠AEB＝∠EBG，

∵∠A＝∠BEG＝90°，

∴△BAE∽△GEB，

∴＝，

∴＝，

∴EG＝8

∴EG＝2，

∴S△BEG＝BEEG＝×4×8＝80．