Question

【題目】如圖1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α＝60°，OE＝OA，求直線EF的函數表達式．

（2）若α為銳角，tanα＝，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積．

（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，△OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x+；(2);(3) △OEP的其中兩邊的比能為：1，點P的坐標是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．

【解析】

（1）過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M，由已知條件證明△AEO為正三角形，求出點E的坐標及OM的長度，再利用E、M的坐標即可求出解析式；

（2）無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉角α后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上，當AE⊥OQ時，線段AE的長最小利用α為銳角，tanα＝及勾股定理求出邊長OE2，即可求出正方形的面積；

（3）分點F在y軸的正半軸上或負半軸上，且點P與點F或點A重合或不重合時，利用△OEP的兩邊之比為：1分別求出點P的坐標.

（1）如圖1，過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M．

∵OE＝OA，α＝60°，

∴△AEO為正三角形，

則OH＝2，EH＝2，故點E（﹣2，2），

∠EOM＝30°，OM＝＝，

設EF的函數表達式為：y＝kx+，

將點E的坐標代入上式并解得：k＝，

故直線EF的表達式為：y＝x+；

（2）射線OQ與OA的夾角為α（α為銳角，tanα＝）．

無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉角α后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上，

∴當AE⊥OQ時，線段AE的長最小．

在Rt△AOE中，設AE＝a，則OE＝3a，

則a2+（3a）2＝42，解得：a2＝，

OE＝3a，

正方形OEFG的面積＝（3a）2＝；

（3）設正方形邊長為m．

當點F落在y軸正半軸時．

如圖3，

當P與F重合時，△PEO是等腰直角三角形，有或．

在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP＝OA＝4，

∴點P1的坐標為（0，4）．

在圖3的基礎上，

當減小正方形邊長時，

點P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；

當增加正方形邊長時，存在（圖4）和（圖5）兩種情況．

如圖4，

△EFP是等腰直角三角形，

有,

即 ,

此時有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，

∴OE＝OA＝4，

∴PE＝OE＝8，PA＝PE+AE＝12，

∴點P的坐標為（﹣4，12）．

如圖5，

過P作PR⊥x軸于點R，延長PG交x軸于點H．設PF＝n．

在Rt△POG中，PO2＝PG2+OG2＝m2+（m+n）2＝2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2＝PF2+EF2＝m2+n2，

當時，

∴PO2＝2PE2．

∴2m2+2mn+n2＝2（m2+n2），得n＝2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ ,

∴AH＝4OA＝16，

∴m＝6．

在等腰Rt△PRH中，PR＝HR＝PH＝24，

∴OR＝RH﹣OH＝12，

∴點P的坐標為（﹣12，24）．

當點F落在y軸負半軸時，

如圖6，

P與A重合時，在Rt△POG中，OP＝OG，

又∵正方形OGFE中，OG＝OE，

∴OP＝OE．

∴點P的坐標為（﹣4，0）．

在圖6的基礎上，當正方形邊長減小時，△OEP的其中

兩邊之比不可能為：1；當正方形邊長增加時，存在（圖7）這一種情況．

如圖7，過P作PR⊥x軸于點R，

設PG＝n．

在Rt△OPG中，PO2＝PG2+OG2＝n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2＝PF2+FE2＝（m+n ）2+m2＝2m2+2mn+n2．

當時，

∴PE2＝2PO2．

∴2m2+2mn+n2＝2n2+2m2，

∴n＝2m，

由于NG＝OG＝m，則PN＝NG＝m，

∵OE∥PN，

∴△AOE∽△ANP，

∴,

即AN＝OA＝4．

在等腰Rt△ONG中，ON＝m，

∴8＝m，

∴m＝4，

在等腰Rt△PRN中，RN＝PR＝4，

∴點P的坐標為（﹣12，4）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為：1，

點P的坐標是：P（0，4），P（﹣4，12），P（﹣12，24），P（﹣4，0），P（﹣12，4）．