Question

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動，連接AB．

（1）如圖，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，

①點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出∠ACB的大小．

②如圖，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，記作點C′，則∠ABO＝　 　°；如圖，將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，記作點C′′，則∠ABO＝　 　°．

（2）如圖，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的倍，求∠ABO的度數．

Answer 1

【答案】（1）①∠ACB的大小不變，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO為60°或72°．

【解析】

（1）①由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根據三角形的外角的性質得到∠PAB+∠ABM=270°，根據角平分線的定義得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到結論；

②由于將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC=∠CAB，根據三角形的內角和即可得到結論；根據將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到結論；

（2）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的倍分兩種情況進行分類討論．

解：（1）①∠ACB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；

②∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵將△ABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案為：30°，60°；

（2）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，∵有一個角是另一個角的倍，故有：
①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO為60°或72°．