Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊的中點，E是AB延長線上的一點，且BE=BD，過點D作DH⊥AB于H．

（1）求∠BAD和∠BDE的度數；
（2）求證：點H是AE的中點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在等邊△ABC，且D是AC的中點，

∴∠DAB= ∠BAC= ×60°=30°，∠ABC=60°，

∵BE=BD，

∴∠BDE=∠E，

∵∠ABC=∠BDE+∠E，

∴∠BDE=∠E=30°，

∴∠BAD=30°，∠BDE=30°

（2）證明：由（1）可知，∠DAB=∠E=30°

∴AD=ED，△ADE為等腰三角形，

又∵DH⊥AE，

∴H是AE的中點．

【解析】（1）根據等腰三角形的三線合一，可得∠DAB=30°，根據∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．（2）要證M是BE的中點，根據題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線向重合即可得證．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對等邊三角形的性質的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．