Question

【題目】如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形為“活三角形”，這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”．

（1）小明在研究“活三角形”問題時（如圖），他發現，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C時，這個△ABC一定是“活三角形”．點D在BC邊上一點，聯結AD，他猜測：當∠DAC = ∠C時，AD就是這個三角形的“生命線”，請你幫他說明AD是△ABC的“生命線”的理由．

（2）如小明研究結果可以總結為：有一個內角是另一個內角的3倍時，該三角形是一個“活三角形”．

請通過自己操作研究，并根據上訴結論，總結“活三角形”的其他特征．

（注意從三角形邊、角特征及相互間關系總結）

，該三角形是一個“活三角形”．

，該三角形是一個“活三角形”．

（3）如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為： 度．（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）有一個內角是另一個內角2倍時；有一個內角為直角時；（3）90°，108°，36°，

【解析】

（1）證明△ADC和△ABD為等腰三角形即可；

（2）作∠CAD=∠C，則∠ADB=2∠C，當∠ABD=2∠C時，∠ABD=∠ADB，則△ABC為“活三角形”；由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，易證直角三角形為“活三角形”；

（3）分四種情況討論，根據三角形內角和為180°建立方程，解方程求出頂角即可．

解：（1）∵∠DAC =∠C，

∴∠ADB=2∠C，△ADC為等腰三角形，

又∵∠BAC=3∠C，

∴∠BAD=2∠C=∠ADB，

∴△ABD為等腰三角形，

∴AD是△ABC的“生命線”；

（2）∠ADB=2∠C，當∠ABD=2∠C時，∠ABD=∠ADB，則△ABC為“活三角形”，

即：有一個內角是另一個內角的2倍時，該三角形是一個“活三角形”；

當∠BAC=90°，AD為斜邊BC的中線，則△ABC為“活三角形”，

即：有一個內角為直角時，該三角形是一個“活三角形”，

故答案為：有一個內角是另一個內角的2倍時；有一個內角為直角時

（3）①由（2）可知，直角三角形為“活三角形”，故等腰直角三角形也為“活三角形”，即頂角為90°；

②如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則有，

解得：，

頂角∠BAC=108°；

③如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則有，。，

解得：，

頂角∠BAC=36°；

④如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，

則，

解得：，

即頂角∠BAC=，

綜上：頂角為90°，108°，36°，．