Question

【題目】（1）如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點G，使DG=BE，連結EF，AG．求證：EF=FG．

（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根據全等三角形的性質求出即可.

（2）過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對應邊AM=AE、對應角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對應邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．

試題解析：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB.

在△ABE和△ADG中，∵，

∴△ABE≌△ADG（SAS）.∴∠BAE=∠DAG，AE="AG." ∴∠EAG=90°.

在△FAE和△GAF中，∵，

∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG.

（2）如答圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM，連接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．

在△ABM和△ACE中，∵，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．

∴由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．

在△MAN和△EAN中，∵，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32. ∴MN=.