Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點A的坐標為（4，0），以OA為一邊，在第一象限作等邊△OAB

（１）求點B的坐標．

（２）求經過O、A、B三點的拋物線的解析式．

（３）直線ｙ＝ｘ與（２）中的拋物線在第一象限相交于點C，求點C的坐標；

（４）在（３）中，直線AC上方的拋物線上，是否存在一點D，使得△OCD的面積最大？如果存在。求出點D的坐標和面積的最大值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（１）解：過點B作BE⊥ｘ軸于點E

∵△OAB是等邊三角形

∴OE＝2，BE＝2

∴點B的坐標為（2，2）．

（２）根據拋物線的對稱性可知，點B（2，2）是拋物線的頂點

設拋物線的解析式為ｙ＝ａ（ｘ－2）＋2

當ｘ＝0時，ｙ＝0

∴0＝ａ（0－2）＋2

∴ａ＝－

∴拋物線的解析式為ｙ＝－（ｘ－2）＋2

即：ｙ＝－ｘ＋2ｘ

（３）設點C的橫坐標為ｘ，則縱坐標為ｘ

即點C的坐標為（ｘ，ｘ）代入拋物線的解析式得：ｘ＝－ｘ＋2ｘ

解得：ｘ＝0或ｘ＝3

∵點C在第一象限，∴ｘ＝3，∴點C的坐標為（3，）

（４）存在

設點D的坐標為（ｘ，－ｘ＋2ｘ），△OCD的面積為ｙ

過點D作DF⊥ｘ軸于點F，交OC于點G，則點G的坐標為（ｘ，ｘ）

作CM⊥DF于點M

則OF＋DM＝3，DG＝－ｘ＋2ｘ－ｘ＝－ｘ＋ｘ

∴S＝（－ｘ＋ｘ）×3

∴S＝－ｘ＋ｘ＝－（ｘ－）＋

∴△OCD的最大面積為，此時點D的坐標為（，）