Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使AE＝AB，連接CE、DE、AC，CE與AD交于點F．

（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；

（2）若∠AFC＝2∠B．求證：四邊形ACDE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得AB∥CD，AB=CD，又因AE=AB，可得AE=CD，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形 ACDE 是平行四邊形；

（2）由（1）得的結論先證得四邊形ACDE是平行四邊形，通過角的關系得出AF=EF，推出AD＝EC，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，得證．

證明：（1）∵ABCD中，AB＝CD且AB∥CD，

又∵AE＝AB，

∴AE＝CD，AE∥CD，

∴四邊形ACDE是平行四邊形；

（2）∵ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAF＝∠B，

又∵∠AFC＝∠EAF+∠AEF，∠AFC＝2∠B

∴∠EAF＝∠AEF，

∴AF＝EF，

又∵平行四邊形ACDE中AD＝2AF，EC＝2EF

∴AD＝EC，

∴平行四邊形ACDE是矩形．