Question

【題目】如圖1，直線與雙曲線交于、兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知點、點．

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）將沿直線翻折，點落在第一象限內的點處，直接寫出點的坐標；

（3）如圖2，過點作直線交軸的負半軸于點，連接交軸于點，且的面積與的面積相等．

①求直線的解析式；

②在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）待定系數法求一次函數解析式和反比例函數解析式，將已知點坐標代入并解方程（組）即可；
（2）先求出直線l1與坐標軸的交點坐標，可得：△COE是等腰直角三角形，再由翻折可得：OCHE是正方形．即可求出H的坐標；
（3）①先待定系數法求直線AO解析式為y=3x，再由△AEG的面積與△OFG的面積相等可得：EF∥AO，即可求直線l2的解析式；
②存在，由S△PBC=S△OBC可知：點P在經過點O或H平行于直線l1：y=-x+4的直線上，易求得點P的坐標為P（-1，1）或P（1，7）．

解：（1）將、點代入得，解得：

直線的解析式為：；

將代入中，得，

雙曲線的解析式為：．

（2）如圖1中，

在中，令，得：

是等腰直角三角形，

由翻折得：

，

是正方形．

．

（3）如圖2，連接，

①、．設直線解析式為，，

直線解析式為，

直線的解析式為：；

②存在，點坐標為：或．

解方程組得：，；

；

，

點在經過點或平行于直線的直線上，

易得：或

分別解方程組或得：或

點的坐標為或．