Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D，E分別在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經過點B，與AB，BC分別交于點F，G．

（1）求證：AC是⊙E的切線；

（2）若AF＝4，CG＝5，

①求⊙E的半徑；

②若Rt△ABC的內切圓圓心為I，則IE＝ ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①⊙E的半徑為20；②IE＝

【解析】試題分析：（1）證明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切線；

（2）①如圖1，作輔助線，構建矩形AHED，設⊙E的半徑為r，表示BH和EC的長，證明△BHE∽△EDC，

列比例式代入r可得結論；

②如圖2，作輔助線，構建直角△IME，分別求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的長．

試題解析：（1）∵CDBC=ACCE，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵點D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切線；

（2）①如圖1，過E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四邊形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

設⊙E的半徑為r，則EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴，即，

∴r=20，

∴⊙E的半徑為20；

②如圖2，過I作IM⊥BC于M，過I作IH⊥AB于H，

由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，

BC=2r+5=2×20+5=45，

∴AC==27，

∵I是Rt△ABC的內心，

∴IM==9，

∴AH=IM=9，

∴BH=BM=36-9=27，

∴EM=27-20=7，

在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．