Question

17．如圖，已知二次函數圖象與x軸交于點A（-1，0）、點B（4，0），與y軸交于點C（0，2），拋物線的頂點為D．
（1）求此二次函數解析式；
（2）連BC，CD，DB，求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數法求出二次函數解析式進而得出答案；
（2）直接利用解析式求出D點坐標，再結合各點坐標得出各線段長，進而得出答案．

解答 解：（1）設y=ax²+bx+c，把點A（-1，0）、點B（4，0），點C（0，2），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
故二次函數的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖所示：過點D作DE⊥y軸于點E，
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
=-$\frac{1}{2}$（x²-3x）+2
=-$\frac{1}{2}$[（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]+2
=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
則D點坐標為：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
故DE=$\frac{3}{2}$，EO=$\frac{25}{8}$，則EC=$\frac{25}{8}$-2=$\frac{9}{8}$，
∵A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），
∴BO=4，CO=2，
∴S_△BCD=S_{四邊形DEOB}-S_△ECD-S_△COB
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+4）×$\frac{25}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{2}$×2×4
=$\frac{15}{4}$．

點評 此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及三角形面積求法，正確得出二次函數解析式是解題關鍵．