Question

【題目】閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．

（1）請你回答：AP的最大值是 ．

（2）參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，請寫出求AP+BP+CP的最小值長的解題思路．

提示：要解決AP+BP+CP的最小值問題，可仿照題目給出的做法．把△ABP繞B點逆時針旋轉60，得到△A′BP′．

①請畫出旋轉后的圖形

②請寫出求AP+BP+CP的最小值的解題思路（結果可以不化簡）．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）①作圖見解析；②，思路見解析．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉得到△A′BC，有△A′BA是等邊三角形，當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋轉得到結論PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，根據勾股定理，即可．

試題解析：（1）∵△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等邊三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，則當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案為：6．

（2）①旋轉后的圖形如圖1；

②如圖2，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A1P1B．則A1B=AB=BC=4，PA=P1A1，PB=P1B，∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC．

∵當A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，∴A1C=PA+PB+PC，∴A1C長度即為所求．

過A1作A1D⊥CB延長線于D．

∵∠A1BA=60°（由旋轉可知），∴∠A1BD=30°．

∵A1B=4，∴A1D=2，BD=，∴CD=4+；

在Rt△A1DC中，A1C===．