Question

【題目】將一副三角尺如圖①擺放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°.Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）.點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經過C，且BC=2.

（1）求證：△ADC∽△APD；

（2）求△APD的面積；

（3）如圖②，將△DEF繞點D順時針方向旋轉角（0°＜＜60°），此時的等腰直角三角尺記為△DE′F′，DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，試判斷的值是否會隨著的變化而變化，如果不變，請求出的值；反之，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）的值不會隨著的變化而變化，理由見解析.

【解析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據等邊對等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據∠ADE=∠ADC-∠EDF計算即可得解；
（2）根據同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據然后求出△BCD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質求出∠BCD=60°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據兩組角對應相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據相似三角形對應邊成比例可得=為定值．

解：（1）證明：由題意知CD是△ABC中斜邊AB上的中線，

∴AD=BD=CD.

∵在△BCD中，BD=CD，且∠B=60°，

∴△BCD為等邊三角形.

∴∠BCD=∠BDC=60°，

∴∠ACD=90°-60°=30°，∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=30°，

∴∠ACD=∠ADE=30°，又∵∠A是公共角，

∴△ADC∽△APD.

（2）∵△BCD為等邊三角形，∴DC=BC=2.

在Rt△PDC中，∠PCD=30°，∴PD=DCtan30°,

由（1）得∠ADE=30°，又∠PAD=90°-60°=30°，

∴△PAD是等腰三角形，∴AP=PD，AD=2，

作PH⊥AD于H，在Rt△PAH中，由∠PAH=30°得，

.

（3）的值不會隨著的變化而變化.

∵∠MPD=∠A+∠ADE=60°，

∴∠MPD=∠BCD=60°.

∵在△MPD和△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN= ，

∴△MPD∽△NCD，∴.

∵在△APD中，∠A=∠ADE=30°，

∴在等腰△APD中， ，

∴

“點睛”本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記各性質并判斷出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．