Question

已知：∠MAN=60°，點B在射線AM上，AB=4（如圖）．P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B，P，Q按順時針排列），O是△BPQ的外心．
（1）當點P在射線AN上運動時，求證：點O在∠MAN的平分線上；
（2）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C，設AP=x，AC•AO=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）若點D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內切圓．當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點A與點O的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）證O在∠MAN的平分線上，可證O到角兩邊的距離相等，分兩種情況：
①OB不與AM垂直，過O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通過構建全等三角形來求解．
連接OB，OP，則OB=OP，只需證明△OHB與△OTP全等即可．
這兩個三角形中，已知的條件有OB=OP，一組直角．只需再證得一組角對應相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH=∠TOP，則兩三角形全等，OT=OH．由此得證．
②當OB⊥AM時，由于OB=OP，只需證明OP⊥AN即可．
由于∠BOP=120°，而∠ABO=90°，∠MAN=60°，根據四邊形的內角和為360°，即可求得OP⊥AN，由此可得證．
（2）本題要通過相似三角形ACP和ABO來求解．
這兩個三角形中，已知了∠BAO=∠CAP（在1題中已經證得）．
只需再找出一組對應角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP=∠OBC=30°，∠ACP=∠BCO，因此∠APC=∠AOB，由此證得兩三角形相似，可得出關于AB，AC，AO，AP的比例關系式，據此可求出y，x的函數關系式．
（3）本題分三種情況：
①圓I在△BPQ外，且與BP邊相切，此時D、P重合，AD=AP=2，AB=4，∠MAN=60°，因此△ABP為直角三角形，不難得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO=BP=2；
②圓I在△BPQ內，與BP，PQ邊相切時，此時P與A重合，可在直角三角形ODA中，根據AD=2，∠DAO=30°，求得AO=；
③圓I在△BPQ內，與BQ邊相切時，A，O重合，因此AO=0．
解答：（1）證明：如圖1，連接OB，OP．
∵O是等邊三角形BPQ的外心，
∴圓心角∠BOP==120°．
當∠MAN=60°，不垂直于AM時，作OT⊥AN，則OB=OP．
由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，
∴∠HOT=120度．
∴∠BOH=∠POT．
∴Rt△BOH≌Rt△POT．
∴OH=OT．
∴點O在∠MAN的平分線上．
當OB⊥AM時，∠APO=360°-∠A-∠BOP-∠OBA=90°．
即OP⊥AN，
∴點O在圓I的平分線上．
綜上所述，當點P在射線AN上運動時，點O在∠MAN的平分線上．

（2）解：如圖2，
∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，
∴∠BAO=∠PAO=30°．
由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，
∴∠CBO=30°，
∴∠CBO=∠PAC．
∵∠BCO=∠PCA，
∴∠AOB=∠APC．
∴△ABO∽△ACP．
∴．
∴AC•AO=AB•AP．
∴y=4x．
定義域為：x＞0．

（3）解：①如圖3，當BP與圓I相切時，AO=2；
②如圖4，當BP與圓I相切時，AO=；
③如圖5，當BQ與圓I相切時，AO=0．
點評：本題考查了相似三角形、全等三角形、角平分線定理、等邊三角形的性質、直線與圓的位置關系等知識點．本題考點較多，難度較大．