Question

如圖，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．請?zhí)骄浚?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201311/52868d96ee60d.png" style="vertical-align:middle" />
（1）如圖＜1＞，若以AP為直徑作⊙O，分別交AM、AN于B、C，求AB+AC的長；
（2）如圖＜2＞，若以AP為弦（不是直徑），任作⊙O₁分別交AM、AN于B₁、C₁點，則AB₁+AC₁的長是否不變？請說明理由；
（3）如圖＜3＞，若以AP為弦（不是直徑）作⊙O₂與AM切于A點，交AN于C₂點，則AC₂的長是多少？請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接PB、PC．
∵AP為ΘO的直徑，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∵AP平分∠MAN，
∴∠BAP=30°，
∴AB=AC=APcos30°=4×，
∴AB+AC=4；

（2）AB₁+AC₁的長度不變．
理由：連接PB₁、PB，PC，PC₁，
在△PBB₁和△PCC₁中，
∵∠B₁AP=∠C₁AP=30°，
∴，
∴PB₁=PC₁，
∵∠ABP=∠C₁CP=90°，
∴PB=PC，
∴Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，
∴B₁B=C₁C，
∴AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，

（3）連接AO₂并延長交ΘO₂于D，連接PD、PC₂，
∴∠APD=90°則∠D+∠PAD=90°，
∵ΘO₂與AM切于A點，
∴∠PAD+∠BAP=90°，
∵∠D=∠BAP=∠CAP=30°，
∵∠D=∠AC₂P，
∴∠AC₂P=∠CAP，
∴△APC₂為等腰三角形，
∵∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，
∴AC=CC₂=2，
∴AC₂=AC+CC₂=4．
分析：（1）根據(jù)∠MAN=60°，AP平分∠MAN，即可得出∠BAP=30°，再利用AB=AC=APcos30°求出即可；
（2）首先利用HL定理證明Rt△PBB₁≌Rt△PCC₁，即可得出B₁B=C₁C，進(jìn)而得出AB₁+AC₁=AB-B₁B+AC+C₁C=AB+AC=4，
（3）先得出△APC₂為等腰三角形，即可求出∠ACP=90°，即PC⊥AC₂，進(jìn)而得到AC=CC₂=2，即可得出答案．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與解直角三角形等知識，根據(jù)題意得出Rt△PBB₁≌RtPCC₁與△APC₂為等腰三角形是解題關(guān)鍵．