Question

已知：∠MAN=60°，點B在射線AM上，AB=4（如圖），P為直線AN上一動點，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點B，P，Q按順時針排列），O是△BPQ的外心。

（1）當點P在射線AN上運動時，求證：點O在∠MAN的平分線上；
（2）當點P在射線AN上運動（點P與點A不重合）時，AO與BP交于點C，設AP=x，AC·AO=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）若點D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內切圓．當△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時，請直接寫出點A與點O的距離。

Answer 1

解：（1）證明：如圖： 連結OB，OP， ∵O是等邊三角形BPQ的外心， ∴OB=OP， 圓心角， 當OB不垂直于AM時，作OH⊥AM，OT⊥AN，垂足分別為H，T， 由，且∠A=60°， ， ∴， ∴， ∴， ∴OH=OT， ∴點O在∠MAN的平分線上 當時，， 即OP⊥AN， ∴點O在∠MAN的平分線上， 綜上所述，當點P在射線AN上運動時，點O在∠MAN的平分線上；
（2）如圖： ∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°， ∴， 由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y=4x， 定義域為x>0；
（3）①如圖1：當BP與圓I相切時，AO=， ②如圖2，當BP與圓I相切時，AO=； ③如圖3，當BQ與圓I相切時，AO=0。