Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2)，△AOB和△APQ都是等邊三角形.

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵試判斷直線AB與直線BQ的位置關(guān)系，并證明；

⑶連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB⊥BQ，證明見解析；（3）P.

【解析】

（1）過B作BC⊥OC于點(diǎn)C，易得∠BOC=30°，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題；

（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即AB⊥BQ；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，易得△BOQ為直角三角形，利用勾股定理求出BQ，由可知OP=BQ，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，點(diǎn)Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行.

（1）如下圖所示，過B作BC⊥OC于點(diǎn)C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA=2，

，

，

，

（2）AB⊥BQ，證明如下：

∵△APQ、△AOB都是等邊三角形，

，，

∴

在△APO和△AQB中，

即AB⊥BQ.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，

∵AB∥OQ，AB⊥BQ，

∴OQ⊥BQ，∠BOQ=∠ABO=60°

∴∠BQO=90°

∴∠OBQ=30°，

在Rt△BOQ中，OB=OA=2，

∴，

又∵

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，點(diǎn)Q必在第一象限，OQ和AB不可能平行.

所以當(dāng)OQ∥AB時(shí)， P點(diǎn)的坐標(biāo)為.