Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知OA=6，OB=10．點D為y軸上一點，其坐標為（0，2），點P從點A出發以每秒2個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

(1)當點P經過點C時，求直線DP的函數解析式；

(2)①求△OPD的面積S關于t的函數解析式；

②如圖②，把長方形沿著OP折疊，點B的對應點B′恰好落在AC邊上，求點P的坐標．

(3)點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）①S＝6或S＝﹣2t+16；②點P的坐標是（，10）；（3）存在，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

【解析】

（1）設直線DP解析式為y=kx+b，將D與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出解析式；

（2）①當P在AC段時，△ODP底OD與高為固定值，求出此時面積；當P在BC段時，底邊OD為固定值，表示出高，即可列出S與t的關系式；

②當D關于OP的對稱點落在x軸上時，直線OP為y=x，求出此時P坐標即可；

（3）存在，分別以BD，DP，BP為底邊三種情況考慮，利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可．

解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四邊形OACB為長方形，

∴C（6，10）．

設此時直線DP解析式為y＝kx+b，

把（0，2），C（6，10）分別代入，得

，

解得

則此時直線DP解析式為y＝x+2；

（2）①當點P在線段AC上時，OD＝2，高為6，S＝6；

當點P在線段BC上時，OD＝2，高為6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16；

②設P（m，10），則PB＝PB′＝m，如圖2，

∵OB′＝OB＝10，OA＝6，

∴AB′＝＝8，

∴B′C＝10﹣8＝2，

∵PC＝6﹣m，

∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝

則此時點P的坐標是（，10）；

（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①當BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，

在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，

根據勾股定理得：CP1＝＝2，

∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；

②當BP2＝DP2時，此時P2（6，6）；

③當DB＝DP3＝8時，

在Rt△DEP3中，DE＝6，

根據勾股定理得：P3E＝＝2，

∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），

綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．

點睛】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定一次函數解析式，坐標與圖形性質，等腰三角形的定義，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．