Question

已知拋物線y=－x²+2(m－3)x+m－1與x軸交于B,A兩點(diǎn),其中點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,該拋物線與y軸于點(diǎn)C。
(1)寫(xiě)出拋物線的開(kāi)口方向與點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的式子表示)；(2分)
(2)若tg∠CBA=3,試求拋物線的解析式；(6分)
(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)（其中0＜x＜3）是(2)中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試求四邊形AOCP的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。(6分)

Answer 1

（1）拋物線的開(kāi)口向下,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,m－1)（2）y=－x²+2x+3（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為()時(shí),四邊形AOCP的面積達(dá)到最大值 

解：(1)拋物線的開(kāi)口向下,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,m－1)    (2分)
(2)∵點(diǎn)A、B分別在x軸的正、負(fù)半軸上
∴方程－x²+2 (m－3)x+m－1=0的兩根異號(hào),即m－1＞0
∴OC=m－1,由tan∠CAB=3,得OB=OC=(m－1) ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為() (4分)
代入解析式得
由m+1≠0得    ∴m=4     (7分)
拋物線的解析式為y=－x²+2x+3       (8分)
（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí),y＞0,∴四邊形AOCP的面積為
S_△COP+S_△OPA= (10分)=  (12分)
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()時(shí),四邊形AOCP的面積達(dá)到最大值   (14分)
（1）二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是-1＜0，因而拋物線的開(kāi)口向下．在函數(shù)解析式中令x=0解得y的值，就是C的縱坐標(biāo)；
（2）解方程-x²+2（m-3）x+m-1=0得到方程的兩個(gè)根，tan∠CBA=3，就可以轉(zhuǎn)化為OB，OC之間的關(guān)系，就可以用m表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程，從而解出m的值．得到函數(shù)的解析式；
（3）四邊形AOCP的面積為S_△COP+S_△OPA，這兩個(gè)三角形的面積就可以用x表示出來(lái)，從而把面積表示成x的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．