Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC，外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）當AD= 時，四邊形ADCE是正方形，證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出∠BAD=∠DAC，∠MAE=∠CAE，求出∠DAE的度數，求出∠AEC=∠ADC=∠EAD=90°，根據矩形的判定判斷即可；

（2）求出AD=DC，得出∠ACD=∠DAC=45°，求出∠BAC=90°，即可求出答案．

試題解析：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠DAC，

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，

∴∠MAE=∠CAE．

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=∠MAC+∠CAB=×180°=90°，

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC=∠CEA=90°，

∴四邊形ADCE為矩形．

（2）證明：∵四邊形ADCE是正方形，

∴DC=AD，

∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴△ADC為等腰直角三角形，

∴∠DAC=∠ACD=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

即△ABC的形狀是等腰直角三角形．