Question

【題目】如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋bx＋6(a≠0)相交于點A(， )，B(4，m)，點P是線段AB上異于A，B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6；

（2）當n＝時，線段PC最大為

【解析】試題分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數值的差．可設出P點橫坐標，根據直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出PC的最大值．

試題解析：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B(4，6)，

∵A(， )，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6　

(2)設動點P的坐標為(n，n＋2)，則C點的坐標為(n，2n2－8n＋6)，

∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋，

∵PC＞0，

∴當n＝時，線段PC最大為