Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理可得：BA= ；
由題意現分兩種情況討論：
①當△BPQ∽△BAC時， ，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴ ，解得： ；
②當△BPQ∽△BCA時， ，
∴ ，解得， ；
綜上所述，當 或 時，△BPQ與△ABC相似
（2）解：過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，如圖1所示：

∴∠PMB=∠ACB=90°，
∴PM∥AC，
∴△BPM∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴PM= ，BM= ，
∴CM= .
∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ ，即 ，解得
【解析】（1）根據勾股定理即可得到結論；分兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，BP：BA=BQ：BC；當△BPQ∽△BCA時，BP：BC=BQ：BA，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可；
（2）分三種情況：①當PB=PQ時，如圖1，過P作PH⊥BQ，根據平行線分線段成比例定理得到，②當PB=BQ時，即5t=8-4t，，③當BQ=PQ時，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，BQ=8-4t，通過△BGQ∽△ACB，得到比例式
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的應用(測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解)．