Question

如圖，在直角坐標系中，O是坐標原點，A（3，0）、B（m，

6

5

）是以OA為直徑的⊙M上的兩點，且tan∠AOB=

1

2

，BH⊥x軸，垂足為H
（1）求H點的坐標；
（2）求圖象經過A、B、O三點的二次函數的解析式；
（3）設點C為（2）中的二次函數圖象的頂點，問經過B、C兩點的直線是否與⊙M相切，請說明理由．
注：拋物線y=ax²+bx+c（c≠0）的頂點為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

（1）∵tan∠AOB=

1

2

，∴

BH

OH

=

1

2

，
∵B（m，

6

5

），∴OH=

12

5

；
∴H點的坐標（

12

5

，0）；

（2）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
∴B（

12

5

，

6

5

），
將A、B、O三點坐標代入得，

144 25 a+ 12 5 b+c= 6 5 9a+3b+c=0 c=0

，
解得

a=- 5 6 b= 5 2 c=0

，
∴二次函數的解析式為y=-

5

6

x²+

5

2

x；

（3）∵拋物線y=ax²+bx+c（c≠0）的頂點為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．
∴C（

3

2

，

15

8

），
設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B、C坐標代入得，

12 5 k+b= 6 5 3 2 k+b= 15 8

，
解得k=-

3

4

，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-

3

4

x+3，
∵M（1.5，0），
∴直線BM的解析式為y=-

4

3

x-2，
∴BM⊥BC，
∴經過B、C兩點的直線與⊙M相切．