Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐標系中，我們把橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整數點，請在第一象限內求作一個整數點C，使得AC=BC，且AC的長為小于4的無理數，則C點的坐標是______，△ABC的面積是______；
（2）試求出△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

（1）作AB的垂直平分線，從圖形中可以看出C點的坐標是C₁（1，1），C₂（5，5）
過A作AH⊥Y軸于H，過B作BM⊥Y軸于M，BF⊥X軸于F，過C作CG⊥Y軸于G，CE⊥X軸于E，
當C₁（1，1）時，S_△ABC=S_梯形AHMB+S_矩形BMOF-S_梯形AHGC-S_{正方形OGCE}-S_梯形CEFB，
=

1

2

×（2+4）×2+4×2-

1

2

×（1+2）×（4-1）-1×1-

1

2

×（1+2）×（4-1），
=4；
當C₂（5，5）時，同法可求S_△ABC=4；
故答案為：（1，1）和（5，5），4．

（2）如圖，在△ABC中，作CD⊥AB于D，連接AE，E為圓心，
∵由勾股定理得：AC=BC=

10

，AB=2

2

，
∴CD=2

2

，
設半徑AE=CE=x，則x²=（

2

）²+（2

2

-x）²，
∴半徑x=

5

4

2

．
答：△ABC外接圓的半徑是

5

4

2

．