Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于，兩點（點位于點的左側），與軸負半軸交于點，若．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，是第三象限內拋物線上的動點，過點交拋物線于點，過作軸交于點，過作軸交于點，當四邊形的周長最大值時，求點的橫坐標；

（3）在軸下方的拋物線上是否存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形被對角線分成面積相等的兩部分．如果存在，求點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； (2)；（3），，．

【解析】

(1)x2(a+1)x+a=0，則AB==(a1)2=16，即可求解；
(2)設點E(m,m2+2m3)，點F(3m,m2+4m)，四邊形EMNF的周長S=ME+MN+EF+FN，即可求解；
(3)分當點Q在第三象限、點Q在第四象限兩種情況，分別求解即可．

解：(1)x2(a+1)x+a=0，
則x1+x2=a+1，x1x2=a， AB==(a1)2=16，
解得：a=5或3，
拋物線與y軸負半軸交于點C，故a=5舍去，則a=3，
則拋物線的表達式為：y=x2+2x3；
(2)由y=x2+2x3得：點A、B、C的坐標分別為：(3,0)、(1,0)、(0,3)，
設點E(m,m2+2m3)，OA=OC，故直線AC的傾斜角為45°，EF//AC，
直線AC的表達式為：y=x3，
則設直線EF的表達式為：y=x+b，將點E的坐標代入上式并解得：
直線EF的表達式為：y=x+(m2+3m3)
聯立并解得：x=m或3m，
故點F(3m,m2+4m)，點M、N的坐標分別為：(m,m3)、(3m,m+3)，
則EF= (xFxE)= (2m3)=MN，
四邊形EMNF的周長S=ME+MN+EF+FN=2m2(6+4)m6，
∵2<0，故S有最大值，此時m=，
故點E的橫坐標為-；
(3)①當點Q在第三象限時，
當QC平分四邊形面積時，
則|xQ|=xB=1，故點Q(1,4)；
當BQ平分四邊形面積時，
則S△OBQ= ×1×|yQ|，S四邊形QCBO=×1×3+×3×|xQ|，
則2(×1×|yQ|)=×1×3+×3×|xQ|，
解得：xQ=，故點Q(,)；
②當點Q在第四象限時，
同理可得：點Q(,)；
綜上，點Q的坐標為：(1,4)或(,)或(,).